Selasa, 11 Januari 2011

METODE PENGALI LAGRANGE


Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.
Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimim relatif atau minimum relative dari fungsi f(x,y) yang dipengaruhi oleh fungsi persyaratan g((x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.
             F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)
dengan persyaratan :
                                     = 0 ,            = 0,         = 0
yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minimum relative. Parameter  yang tidak tergantung pada x, dan y disebut pengali lagrange.

1.Kasus Dengan Satu Pengali Lagrange
Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter  sebagai pengali lagrange.
Jika f(x,y) merupakan suatu fungsi yang akan ditentuka nilai maksimum atau minimum relatifnya dan g((x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk
              F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)
Fungsi penolong F(x,y,) ini adalah fungsi dari tiga variabel x,y dan .
            Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(x,y) dengan  persyaratan g((x,y) = 0
                       
Maka harus dipenuhi persyaratan:
                                       = +   = 0
                                       =  +  = 0
   = g(x,y) = 0
Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f(x,y).
Contoh 1 :
Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy dengan syarat : g(x,y) = x + y – 16 = 0
jawab :
              F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)
                            = xy +  (x + y - 16)
               = y +  = 0            y =
               = x +  = 0           x =
               = x + y – 16           – 16 = 0
                                                      = 16
                                                            = -8
karena  = -8, maka : x =               y =
                                    x = 8                y = 8

titik kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai minimum f(x,y) = xy
                                                                                                             = 8.8
                                                                                                             =16 ( nilai minimum)

Contoh 2 :
Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi ongkos gabungan adalah :
                        C(x,y)  = x2 + 3xy – 6y
Untuk meminimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harus diproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin.
Jawab :
persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42,
ditulis : g(x,y) = x + y – 42 = 0
fungsi penolongnya :
                        F(x,y,) = C(x,y) + g(x,y)
                                       = (x2 + 3xy – 6y) + (x + y – 42)
                           = 2x + 3y + = 0
                           = 3x – 6 +  = 0
                           = x + y – 42 = 0
Penyelesaian dari sistem di atas memeberikan
                         x = 33             y = 9                 = ­
maka biaya minimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x dan 9 mesin y.
2.Kasus Dengan Dua Pengali Lagrange
            Metode pengali lagrange diperluas untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan lebih dari suatu persyaratan. Untuk masalah seperti ini, digunakan dua parameter, yaitu  dan  atau lebih, yang tidak tergantung pada x dan y. Metode lagrange ini juga dapat diperluas untuk menyelesaikan fungsi yang melibatkan tiga variabel atau lebih.
            Untuk memperoleh nilai relatif  maksimum atau minimum dari fungsi F(x,y,z) dengan persyaratan  ( x,y,z) = 0, dibentuk fungsi pembantu.
                         G(x,y,z,) = F(x,y,z) +  ( x,y,z)
Yang harus memenuhi persyaratan:    = 0               = 0           = 0          = 0
Metode ini dapat diperluas jika kita ingin menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum dari  fungsi dengan beberapa variabel dan beberapa fungsi syarat.
Misalkan kita ingin mencari nilai-nilai maksimum dan minimum fungsi F(x1,­­­ x­­2, x3,…., xk) yang harus memenuhi kendala  1 (x1,­­­ x­­2,…, xn) = 0, 2 (x1,­­­ x­­2,…, xn) = 0 ……… k (x1,­­­ x­­2,…, xn) = 0 dibentuk fungsi penolong G(x1,­­­ x­­2,…, xn,1,……. k) = F + 1 + 2 + kk
Yang memenuhi persyaratan
 = 0 ,   = 0 , ….   = 0,   = 0 = 0
Dengan 1, 2,  ….  k tidak tergantung pada x1, x2 . . . ,xn dan disebut pengali lagrange.

Contoh 3
Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari fungsi f(x,y,z) = xy + xz dan titik (x,y,z) terletak pada perpotongan antara permukaan antara permukaan x2 + z2 = 2 dan yz = 2.
Jawab :
          Fungsi penolongnya :
           F(x,y,z,, ) = (xz + yz) + (x2 + z2 – 2) + (yz – 2)
                           = z + 2 x = 0                   = x + y + 2z + z = 0
                           = z + z = 0                     = x2 + z2 – 2 = 0 
    =    1, z = 0 (tak berlaku)             = yz – 2
             = –

subsitusikan ke : x + y + 2z + z = 0
                                    x + y + 2 ( ) z + (–1)y = 0         x + y –   – y = 0
diperoleh x2 = z2 subsitusikan kedua persamaan terakhir menghasilkan:
                        2x2 – 2 = 0                   atau x2 = 1  x
Dari masing-masing nilai x diperoleh dua nilai z, yaitu z =1 dan z = –1.
Persamaan yz – 2 = 0 memberikan y =2 jika z = 1 dan y = – 2 jika z = – 1. Diperoleh kelompok penyelesaian
            x = 1 ,             y = 2 ,               z = 1 ,         = –  ,           = –1
            x = 1 ,              y = –2,              z = –1,            =   ,            = –1
            x  = –1             y = 2 ,               z = 1               =                = –1
            x  = –1             y = –2,              z = 1             = –  = –1
kelompok penyelesaian pertama dan keempat menghasilkan f(x,y,z) = 3, dan kelompok kedua dan ketiga memberikan f(x,y,z) = 1. Maka f(x,y,z) mempunyai nilai maksimum relatif = 3 dan minimum relatif = 1
Contoh 4
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x,y,z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan potongan tabung x2 + y2 = 2 dan bidang y + z = 1
Jawab :
                F(x,y,z,, ) = (x + 2y + 3z) + (x2 + y2 – 2) + (y + z – 2)
                   1)   = 1 + 2 x = 0                          3)  = 3 +  = 0
                         2)  = 2 + 2y +  = 0                     4) = x2 + y2 – 2 = 0
                                                                                    5) = y + z – 1 = 0
Dari persamaan 3) diperoleh :  = –3
Persamaan 1) 1 + 2 x = 0                                           Persamaan 2) 2 + 2y +  = 0
                                  x = -                                                                       2 + 2y – 3 = 0
                                                                                                                           y =
subsitusikan ke persamaan 4) = x2 + y2 – 2 = 0
                                                = ( - )2 + (  )2 ­­= 2
                                               =
untuk  =                                 x = -1            y =  1            z = 0
                                                     maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z
                                                                           = -1 + 2(1) + 0
                                                                           = 1 (nilai minimum)
Untuk    =                     x = 1             y = -1             z = 2
                                                      Maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z
                                                                             = 1 + 2(-1) + 3(2)
                                                                              = 5 (nilai maksimum)


Latihan
1.     Jika f(x,y,z) = 4x2 + y2 + 5z2, tentukan titik pada bidang 2x + 3y + 4z = 12 dimana     f(x,y,z)           mepunyai nilai terkecil ?
2.     Sebuah perusahaan memproduksi dua kombinasi x dan y. kombinasi bagaimanakah yang harus dipilih agar biaya produksi minimum, jika fungsi poroduksi ialah C (x,y) = 6x2 + 10y2 –xy +30. Perusahaan memiliki kuantum produksi sebesar x + y = 34.
3.     Campuran output apakah yang akan memberikan keuntungan maksimum kepada perusahaan jika fungsi keuntungannya adalah  = 80x – 2x2 – xy – 3y2 + 100y dan kapasitas output maksimum ialah x + y = 12.
4.     Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi f(x,y) = xy dengan syarat :
         g(x,y) =  +  – 1 = 0
5.     Tentukan titik pada bidang 2x – 3y + 5z = 19 yang paling dekat pada titik asal 0 (0,0,0). Gunakan pengali lagrange.
6.     Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari x2 + y2 + z2 dengan persyaratan
           +  +  = 1 dan z = x + y
7.      Gunakan metode pengali Lagrange untuk mencari jarak terpendek dari titik (1,3,0) ke bidang 4x + 2y – z = 5
8.      Jika f(x,y,z) = 2x2 + 3y2 + z2 gunakan metode pengsli lagrange untuk mencari titik pada bidang x + y + z = 5, yang menyebabkan f(x) yz minimum.
9.      Gunakan metode pengali lagrange untuk mencari nilai minimum relative dari f
         Jika f (x,y,z) =  x2 + y2 + z2 dengan dua pembatas x + y + 2z = 1 dan 3x – 2y + z = -4
10.    Gunakan metode pengali lagrange untuk mencari suatu nilai maksimum relative dari fungsi f, jika f (x,y,z) = xyz dengan dua pembatas x + y + z = 4 dan x – y- z = 3
 



REFERENSI
-         Leithold, Louis. 1991. Kalkulus dan ilmu ukur Analitik, edisi kelima,
jilid 3. Jakarta : Erlangga
-         Supranto, J. 2005. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis, jilid I.
Bogor : Galia Indonesia
-         J, Purcell, Edwin. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, jilid 2.
Jakarta : Erlangga

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar